Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 - 10x + 25, & x \ge 4, \\ x - 2, & x < 4. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
5 шаговПреобразуем первую формулу: $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$. При $x \ge 4$ это часть параболы с вершиной $(5;0)$, проходящая через точку $(4;1)$. Точка $(4;1)$ принадлежит графику.
$$y = (x - 5)^2, \quad x \ge 4$$Вторая часть является лучом прямой $y = x - 2$ при $x < 4$. Он заканчивается в точке с координатами $(4;2)$, которая не входит в график.
$$y < 2$$Для прямой $y = m$ линейная часть даёт одну общую точку тогда и только тогда, когда $m < 2$.
Для параболы уравнение пересечения имеет вид $(x - 5)^2 = m$. При $0 < m < 1$ есть две точки, при $m = 1$ также две точки, а при $1 < m$ остаётся только правая точка, поскольку левая имеет абсциссу $x = 5 - \sqrt{m} < 4$.
Если $1 < m < 2$, линейная часть даёт одну точку, а параболическая часть — одну точку. Итого получается ровно две общие точки.
$1 < m < 2$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают левую ветвь параболы при $x < 4$, хотя первая формула задана только при $x \ge 4$.
Считают точку $(4;2)$ принадлежащей графику линейной части.
Забывают, что при $m > 1$ левая точка пересечения с полной параболой может выйти за область $x \ge 4$.