Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y=\dfrac{4|x|-1}{|x|-4x^2}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.
Решение по шагам
6 шаговРазложим знаменатель и учтём область определения:
$$|x|-4x^2=|x|(1-4|x|),\quad x\ne0,\quad |x|\ne\dfrac14$$Так как $1-4|x|=-(4|x|-1)$, функцию можно сократить на $4|x|-1$ при условии $|x|\ne\dfrac14$:
$$y=\dfrac{4|x|-1}{|x|(1-4|x|)}=-\dfrac1{|x|}$$График совпадает с графиком функции $y=-\dfrac1{|x|}$: это две ветви гиперболы, расположенные ниже оси $Ox$, с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. В точках $x=\pm\dfrac14$ имеются выколотые точки с ординатой $y=-4$.
$$\left(\dfrac14,-4\right),\quad\left(-\dfrac14,-4\right)$$Для $x>0$ имеем $y=-\dfrac1x$. Уравнение пересечения с прямой $y=kx$ даёт $kx^2=-1$, поэтому пересечение возможно при $k<0$.
$$kx=-\dfrac1x\Longrightarrow k=-\dfrac1{x^2}<0$$Для $x<0$ имеем $y=\dfrac1x$. Тогда $kx=\dfrac1x$, поэтому пересечение возможно при $k>0$.
$$kx=\dfrac1x\Longrightarrow k=\dfrac1{x^2}>0$$При $k=0$ пересечений нет. При отрицательном $k$ точка пересечения лежит на правой ветви и имеет абсциссу $x=\dfrac1{\sqrt{-k}}$. Она попадает в выколотую точку при $x=\dfrac14$, то есть при $k=-16$. Следовательно, при $k=-16$ пересечения также нет.
$$\dfrac1{\sqrt{-k}}=\dfrac14\Longrightarrow -k=16\Longrightarrow k=-16$$Прямая $y=kx$ не имеет общих точек с графиком при $k\in\{-16;0\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают исключить значения $x=0$ и $x=\pm\dfrac14$ из области определения.
После сокращения считают точку $\left(\dfrac14,-4\right)$ принадлежащей графику.
Рассматривают только одну ветвь графика и не анализируют отдельно случаи $x>0$ и $x<0$.