Решение: График с модулем и параметром
Постройте график функции $y=|x|\cdot(x+2)-5x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
5 шаговРаскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому функция принимает вид:
$$y=-x(x+2)-5x=-x^2-7x$$При $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$, поэтому:
$$y=x(x+2)-5x=x^2-3x$$График состоит из части параболы $y=-x^2-7x$ при $x<0$ и части параболы $y=x^2-3x$ при $x\geqslant 0$. Первая парабола направлена вниз, её вершина имеет координаты $\left(-\frac{7}{2},\frac{49}{4}\right)$. Вторая парабола направлена вверх, её вершина имеет координаты $\left(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}\right)$.
Для прямой $y=m$ ровно два пересечения с первой ветвью и второй ветвью одновременно не возникают. При $m=-\frac{9}{4}$ прямая касается правой параболы в её вершине и пересекает левую ветвь в одной точке. При $m=\frac{49}{4}$ прямая касается левой параболы в её вершине и пересекает правую ветвь в одной точке.
При остальных значениях $m$ число общих точек не равно двум: либо их одна, три, либо ни одной.
$m=-\frac{9}{4}$ или $m=\frac{49}{4}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничения $x<0$ и $x\geqslant 0$ после раскрытия модуля.
Считают точку $x=0$ принадлежащей обеим ветвям как две разные точки.
Берут только координаты вершин, но не проверяют число пересечений прямой с другой ветвью.