Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y=|x|(x+1)-5x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
8 шаговРаскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$.
$$y=\begin{cases}-x^2-6x, & x<0,\\x^2-4x, & x\geqslant 0.\end{cases}$$Левая часть графика — ветвь параболы, направленная вниз. Преобразуем её уравнение к виду с вершиной.
$$y=-x^2-6x=-(x+3)^2+9$$Вершина левой параболы имеет координаты $(-3;9)$. Так как рассматривается только $x<0$, точка $(0;0)$ в эту ветвь не входит.
$$y_{\max}=9$$Правая часть графика — ветвь параболы, направленная вверх.
$$y=x^2-4x=(x-2)^2-4$$Вершина правой параболы имеет координаты $(2;-4)$, а точка $(0;0)$ входит в график.
$$y_{\min}=-4$$Рассмотрим количество пересечений прямой $y=m$ с графиком. При $m=-4$ прямая касается правой параболы в её вершине и пересекает левую ветвь один раз. Всего две точки.
$$m=-4$$При $m=9$ прямая касается левой параболы в её вершине и пересекает правую ветвь один раз. Всего две точки.
$$m=9$$Для остальных уровней число общих точек не равно двум: между $-4$ и $9$ возникают три пересечения, а вне этих уровней — одно или ни одного.
Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет с графиком при $m=-4$ и $m=9$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать разные формулы функции при $x<0$ и $x\geqslant 0$.
Считать точку $(0;0)$ принадлежащей левой ветви, хотя для неё используется правая формула.
Указать только уровни вершин, не проверив количество пересечений с другой ветвью.