Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y = \begin{cases} -x^2 + 6x - 9, & x \ge 2, \\ -x, & x < 2. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговПри $x \ge 2$ имеем $y = -x^2 + 6x - 9 = -(x - 3)^2$. Это часть параболы, направленной ветвями вниз, с вершиной $(3; 0)$. При $x = 2$ получаем точку $(2; -1)$, которая принадлежит графику.
$$y = -(x - 3)^2, \quad x \ge 2$$При $x < 2$ график задаётся лучом $y = -x$. Точка $(2; -2)$ не входит в график, поэтому на рисунке она отмечается выколотой.
Для параболической части уравнение пересечения с прямой $y = m$ имеет вид $-(x - 3)^2 = m$. При $m < -1$ существует одна допустимая точка пересечения, при $-1 \le m < 0$ — две, при $m = 0$ — одна, а при $m > 0$ — ни одной.
Для луча $y = -x$ пересечение с прямой $y = m$ задаётся равенством $x = -m$. Условие $x < 2$ даёт $m > -2$. Значит, при $m > -2$ есть одна точка пересечения с лучом, а при $m \le -2$ — нет.
При $-2 < m < -1$ параболическая часть даёт одну точку, а луч — одну точку. Всего получается ровно две точки.
При $m = 0$ параболическая часть даёт одну точку $(3; 0)$, а луч — одну точку $(0; 0)$. Всего также две точки. В остальных случаях число общих точек не равно двум.
m \in (-2; -1) \cup \{0\}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать точку $(2; -2)$ принадлежащей лучу $y = -x$, хотя условие содержит $x < 2$.
Забыть ограничение $x \ge 2$ для параболы и учитывать левую ветвь полностью.
Не рассмотреть отдельно случаи $m = -1$ и $m = 0$.