Решение: График функции и прямая
Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+4)(x+1)}{-1-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
8 шаговОбласть определения исходной функции: $x\ne -1$, так как знаменатель $-1-x$ не должен обращаться в ноль.
$$x\ne -1$$Упростим выражение при допустимых значениях $x$: знаменатель $-1-x=-(x+1)$, поэтому множитель $x+1$ сокращается.
$$y=\dfrac{(x^2+4)(x+1)}{-(x+1)}=-(x^2+4)=-x^2-4$$Следовательно, график — парабола $y=-x^2-4$, направленная ветвями вниз, с вершиной в точке $(0;-4)$. Точка, соответствующая $x=-1$, не входит в график: это выколотая точка $(-1;-5)$.
$$y(-1)=-(-1)^2-4=-5$$Для нахождения общих точек с прямой $y=kx$ приравняем значения функций.
$$-x^2-4=kx\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+kx+4=0$$Если дискриминант равен нулю, имеется один корень и одна общая точка.
$$D=k^2-16=0\quad\Longrightarrow\quad k=\pm4$$При $k=4$ корень равен $x=-2$, а при $k=-4$ корень равен $x=2$. Оба корня допустимы, поэтому значения $k=-4$ и $k=4$ подходят.
Если $D>0$, уравнение имеет два корня. Ровно один из них может быть исключён из-за условия $x\ne-1$. Подставим $x=-1$ в уравнение пересечения.
$$(-1)^2+k(-1)+4=0\quad\Longrightarrow\quad 5-k=0\quad\Longrightarrow\quad k=5$$При $k=5$ корни уравнения — $x=-1$ и $x=-4$. Корень $x=-1$ соответствует выколотой точке и не даёт общей точки, а $x=-4$ даёт одну общую точку. Поэтому $k=5$ также подходит.
График — парабола $y=-x^2-4$ с выколотой точкой $(-1;-5)$. Прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $k\in\{-4;4;5\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne-1$ после сокращения дроби.
Изобразить полную параболу без выколотой точки $(-1;-5)$.
При $k=5$ посчитать корень $x=-1$ как общую точку графика.
Рассматривать только случай нулевого дискриминанта и не проверить исключённый корень.