Решение: График модуля квадратичной функции
Постройте график функции $y = \left|x^2 + 5x + 6\right|$. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение по шагам
5 шаговРазложим выражение под знаком модуля на множители:
$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$$Нули функции имеют абсциссы $x=-3$ и $x=-2$. Вершина исходной параболы находится в точке с абсциссой $x=-\frac52$:
$$y_0=\left(-\frac52\right)^2+5\left(-\frac52\right)+6=-\frac14$$На промежутке $[-3;-2]$ выражение $x^2+5x+6$ отрицательно, поэтому соответствующую часть параболы отражаем относительно оси абсцисс. Получаем график с нулями $(-3;0)$ и $(-2;0)$ и нижней вершиной исходной параболы, отражённой в точку $\left(-\frac52;\frac14\right)$.
Пусть горизонтальная прямая имеет уравнение $y=c$. При $0<c<\frac14$ уравнение $x^2+5x+6=c$ имеет два корня, а уравнение $x^2+5x+6=-c$ также имеет два корня, поскольку $-c$ находится выше минимального значения $-\frac14$ исходной параболы.
Следовательно, при $0<c<\frac14$ горизонтальная прямая пересекает график функции в четырёх точках. Это и есть наибольшее возможное число пересечений.
Наибольшее число общих точек равно 4.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не отражают часть параболы ниже оси абсцисс относительно оси абсцисс.
Считают только корни уравнения $x^2+5x+6=c$ и не учитывают уравнение $x^2+5x+6=-c$.
Ошибочно считают, что горизонтальная прямая всегда пересекает график не более двух раз.