Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y = \dfrac{6x+7}{6x^2+7x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
8 шаговРазложим знаменатель на множители:
$$6x^2+7x=x(6x+7)$$Учитывая ограничения исходной функции, получаем область определения $x\ne 0$ и $x\ne -\dfrac{7}{6}$.
$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{0,-\dfrac{7}{6}\right\}$$При допустимых значениях $x$ дробь сокращается:
$$y=\dfrac{6x+7}{x(6x+7)}=\dfrac{1}{x}$$Следовательно, график — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=0$, из которой удалена точка с абсциссой $x=-\dfrac{7}{6}$.
$$y\left(-\dfrac{7}{6}\right)=-\dfrac{6}{7}$$Для нахождения общих точек с прямой $y=kx$ приравняем значения функций:
$$\dfrac{1}{x}=kx\quad\Longleftrightarrow\quad kx^2=1$$Если $k<0$ или $k=0$, действительных решений нет. Если $k>0$, уравнение имеет два решения $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{k}}$, поэтому обычно прямая имеет две общие точки.
Ровно одна общая точка получается, если одна из двух точек совпадает с удалённой точкой гиперболы. Подставим $x=-\dfrac{7}{6}$ в условие $kx^2=1$:
$$k\cdot\left(-\dfrac{7}{6}\right)^2=1\quad\Longrightarrow\quad k\cdot\dfrac{49}{36}=1\quad\Longrightarrow\quad k=\dfrac{36}{49}$$При $k=\dfrac{36}{49}$ точка с абсциссой $x=-\dfrac{7}{6}$ не принадлежит графику, а вторая точка пересечения сохраняется. Поэтому общая точка ровно одна.
$k=\dfrac{36}{49}$; график — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с выколотой точкой $\left(-\dfrac{7}{6},-\dfrac{6}{7}\right)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Сокращают дробь и забывают исключить значения $x=0$ и $x=-\dfrac{7}{6}$ из области определения.
Считают, что при любом $k>0$ прямая имеет ровно две общие точки, не учитывая выколотую точку.
Включают значение $k=0$, хотя уравнение $\dfrac{1}{x}=0$ не имеет решений.