Решение: График с модулем и параметром
Постройте график функции $y = 4|x + 6| - x^2 - 11x - 30$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение по шагам
6 шаговРаскроем модуль. При $x < -6$ имеем $|x+6|=-(x+6)$, а при $x\geqslant -6$ имеем $|x+6|=x+6$.
$$y=\begin{cases}-x^2-15x-54=-(x+6)(x+9),&x<-6,\\-x^2-7x-6=-(x+1)(x+6),&x\geqslant -6.\end{cases}$$Левая ветвь — часть параболы $y=-(x+6)(x+9)$. Её вершина имеет абсциссу $x=-\dfrac{15}{2}$ и ординату $y=\dfrac{9}{4}$. Она проходит через точки $(-9,0)$ и $(-6,0)$.
$$y=-\left(x+\dfrac{15}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}$$Правая ветвь — часть параболы $y=-(x+1)(x+6)$. Она проходит через точки $(-6,0)$ и $(-1,0)$, а её вершина имеет координаты $\left(-\dfrac{7}{2},\dfrac{25}{4}\right)$.
$$y=-\left(x+\dfrac{7}{2}\right)^2+\dfrac{25}{4}$$При $m=0$ горизонтальная прямая пересекает график в трёх различных точках: $x=-9$, $x=-6$ и $x=-1$.
$$f(x)=0\Longrightarrow x\in\{-9,-6,-1\}$$При $m=\dfrac{9}{4}$ прямая касается левой ветви в её вершине и пересекает правую ветвь в двух точках. Всего получается три общие точки.
$$1+2=3$$Для остальных значений $m$ число пересечений не равно трём: при $0<m<\dfrac{9}{4}$ их четыре, при $\dfrac{9}{4}<m<\dfrac{25}{4}$ — два, а при $m=\dfrac{25}{4}$ — одно.
$m=0$ или $m=\dfrac{9}{4}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не разделяют функцию на случаи при раскрытии модуля.
Считают точку $(-6,0)$ дважды, хотя это одна общая точка графика.
Учитывают вершину левой параболы как принадлежащую неправильной части ветви.
Не проверяют число пересечений на особых уровнях $m=0$, $m=\dfrac{9}{4}$ и $m=\dfrac{25}{4}$.