Решение: График с модулем и параметром
Постройте график функции $y=\dfrac{4{,}5|x|-1}{|x|-4{,}5x^2}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.
Решение по шагам
7 шаговЗнаменатель функции равен нулю при $|x|-4{,}5x^2=0$. Так как $x^2=|x|^2$, получаем $|x|(1-4{,}5|x|)=0$. Поэтому $x=0$ или $|x|=\dfrac{2}{9}$ — эти значения исключаются из области определения.
$$|x|-4{,}5x^2=|x|(1-4{,}5|x|)$$При $x>0$ имеем $|x|=x$, поэтому $y=\dfrac{4{,}5x-1}{x-4{,}5x^2}=-\dfrac{1}{x}$, причём точка $x=\dfrac{2}{9}$ исключена.
$$y=\dfrac{4{,}5x-1}{x(1-4{,}5x)}=-\dfrac{1}{x},\quad x>0,\ x\ne\dfrac{2}{9}$$При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому $y=\dfrac{-4{,}5x-1}{-x-4{,}5x^2}=\dfrac{1}{x}$, причём точка $x=-\dfrac{2}{9}$ исключена.
$$y=\dfrac{-(1+4{,}5x)}{-x(1+4{,}5x)}=\dfrac{1}{x},\quad x<0,\ x\ne-\dfrac{2}{9}$$График состоит из ветви $y=\dfrac{1}{x}$ в третьей четверти и ветви $y=-\dfrac{1}{x}$ во второй и четвёртой четвертях, причём выколоты точки с абсциссами $x=-\dfrac{2}{9}$ и $x=\dfrac{2}{9}$. В обеих выколотых точках ордината равна $-\dfrac{9}{2}$.
$$\left(-\dfrac{2}{9},-\dfrac{9}{2}\right),\quad \left(\dfrac{2}{9},-\dfrac{9}{2}\right)$$Для ветви $y=\dfrac{1}{x}$ при $x<0$ условие пересечения с прямой $y=kx$ имеет вид $\dfrac{1}{x}=kx$, то есть $x^2=\dfrac{1}{k}$. Пересечение существует при $k>0$, кроме случая, когда единственная точка пересечения является выколотой.
$$\dfrac{1}{x}=kx\Longrightarrow x^2=\dfrac{1}{k}$$Для ветви $y=-\dfrac{1}{x}$ при $x>0$ условие пересечения имеет вид $-\dfrac{1}{x}=kx$, то есть $x^2=-\dfrac{1}{k}$. Пересечение существует при $k<0$, кроме случая с выколотой точкой.
$$-\dfrac{1}{x}=kx\Longrightarrow x^2=-\dfrac{1}{k}$$При $k=0$ прямая совпадает с осью абсцисс, а график функции её не пересекает. Для выколотой точки $\left(-\dfrac{2}{9},-\dfrac{9}{2}\right)$ угловой коэффициент равен $k=\dfrac{81}{4}$, а для точки $\left(\dfrac{2}{9},-\dfrac{9}{2}\right)$ — $k=-\dfrac{81}{4}$. В обоих случаях единственная возможная точка пересечения выколота.
$$k=\dfrac{-9/2}{-2/9}=\dfrac{81}{4},\qquad k=\dfrac{-9/2}{2/9}=-\dfrac{81}{4}$$$k\in\left\{-\dfrac{81}{4},\ 0,\ \dfrac{81}{4}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать область определения и выколотые точки при построении графика.
Считать, что сокращение дроби сохраняет точки, в которых исходный знаменатель равен нулю.
Потерять один из случаев при раскрытии модуля.
Указать только $k=0$, не проверив значения параметра, соответствующие выколотым точкам.