Решение: График функции и число пересечений
Постройте график функции $y=5|x-3|-x^2+7x-12$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение по шагам
6 шаговРаскроем модуль по определению. При $x<3$ имеем $|x-3|=3-x$, а при $x\geqslant3$ имеем $|x-3|=x-3$.
$$y=\begin{cases}5(3-x)-x^2+7x-12=-x^2+2x+3=4-(x-1)^2, & x<3,\\ 5(x-3)-x^2+7x-12=-x^2+12x-27=9-(x-6)^2, & x\geqslant3.\end{cases}$$График состоит из левой части параболы $y=4-(x-1)^2$ с вершиной $(1,4)$ и правой части параболы $y=9-(x-6)^2$ с вершиной $(6,9)$. Обе части соединяются в точке $(3,0)$.
Рассмотрим число пересечений с прямой $y=m$. При $m<0$ каждая ветвь даёт по одной точке, при $0<m<4$ — по две точки, при $4<m<9$ правая ветвь даёт две точки, а левая — ни одной.
При $m=0$ уравнения дают точки с абсциссами $x=-1$, $x=3$ и $x=9$, то есть ровно три общие точки.
При $m=4$ левая ветвь имеет одну точку $x=1$, а правая ветвь — две точки $x=6-\sqrt5$ и $x=6+\sqrt5$. Всего получается ровно три общие точки.
При остальных значениях $m$ число общих точек не равно трём.
$m=0$ или $m=4$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x<3$ и $x\geqslant3$ после раскрытия модуля.
Считать точку $(3,0)$ дважды как принадлежащую обеим параболам.
Забыть, что при $m=4$ левая парабола даёт одну точку, а правая — две.