Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y=\dfrac{1}{2}\left(\left|\dfrac{x}{1{,}5}-\dfrac{1{,}5}{x}\right|+\dfrac{x}{1{,}5}+\dfrac{1{,}5}{x}\right)$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
5 шаговОбласть определения функции: $x\ne0$. Обозначим $a=\dfrac{x}{1{,}5}$ и $b=\dfrac{1{,}5}{x}$. Тогда $ab=1$.
$$y=\frac12\left(|a-b|+a+b\right)$$При $x>0$ числа $a$ и $b$ положительны, поэтому $y=\max(a,b)$. Равенство $a=b$ выполняется при $x^2=2{,}25$, то есть при $x=1{,}5$. Поэтому на положительной полуоси функция задаётся так:
$$y=\begin{cases}\dfrac{1{,}5}{x},&0<x\leq1{,}5,\\[4pt]\dfrac{x}{1{,}5},&x\geq1{,}5.\end{cases}$$При $x<0$ после сравнения величин $a$ и $b$ получаем аналогичное разбиение в точке $x=-1{,}5$:
$$y=\begin{cases}\dfrac{1{,}5}{x},&x\leq-1{,}5,\\[4pt]\dfrac{x}{1{,}5},&-1{,}5\leq x<0.\end{cases}$$График состоит из двух гиперболических ветвей $y=\dfrac{1{,}5}{x}$ и двух частей прямой $y=\dfrac{x}{1{,}5}$ с точками соединения $(-1{,}5;-1)$ и $(1{,}5;1)$. Прямая $y=m$ при $m>1$ пересекает график в двух точках, при $-1<m<0$ — также в двух точках, а при $m<-1$ или $0\leq m<1$ общих точек нет.
При $m=1$ горизонтальная прямая касается графика в точке $(1{,}5;1)$, а при $m=-1$ — в точке $(-1{,}5;-1)$. В каждом из этих случаев общая точка ровно одна.
$$m\in\{-1;1\}$$$m=-1$ или $m=1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что $x=0$ не входит в область определения.
Неверно сравнивают дроби при отрицательных значениях $x$.
Считают, что при $m=1$ или $m=-1$ есть две точки пересечения, хотя ветви соединяются в одной точке.
Не учитывают разрыв графика при $x=0$.