Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y = \begin{cases} -x^2 - 2x + 3, & x \geq -2, \\ -x - 1, & x < -2. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговПервая часть графика — ветвь параболы $y = -x^2 - 2x + 3$, построенная только при $x \geq -2$. Преобразуем выражение:
$$y = -(x+1)^2 + 4$$Вершина параболы имеет координаты $(-1;4)$. На границе области определения $x=-2$ получаем точку $(-2;3)$, которая принадлежит графику.
Вторая часть — луч прямой $y=-x-1$ при $x<-2$. При приближении к $x=-2$ значение $y$ стремится к $1$, но точка $(-2;1)$ не принадлежит графику. Поэтому значения этой части удовлетворяют условию $y>1$.
Рассмотрим пересечения с прямой $y=m$. Для параболы уравнение пересечения имеет вид:
$$-x^2-2x+3=m$$При $m=4$ горизонтальная прямая касается параболы в её вершине и имеет с ней одну общую точку. Поскольку $4>1$, с лучом прямой также есть одна общая точка: $-x-1=4$, откуда $x=-5$.
При $1<m<4$ горизонтальная прямая пересекает параболу в двух точках и луч прямой ещё в одной точке. При $m=3$ также получаются три точки: две на параболе и одна на луче. При $m\leq1$ пересечения с лучом нет, а с параболой получается не две точки. При $m>4$ пересечение с параболой отсутствует, а с лучом имеется только одна точка.
Ровно две общие точки график функции и прямая $y=m$ имеют только при $m=4$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают точку $(-2;1)$ как принадлежащую второй части графика, хотя условие второй части — $x<-2$.
Забывают, что при $1<m<4$ горизонтальная прямая пересекает параболу в двух точках и луч прямой ещё в одной.
Считают касание с параболой при $m=4$ двумя точками.