Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y = x^2 + 3x - 3|x + 2| + 2$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение по шагам
6 шаговРазберем функцию по знаку выражения $x+2$. При $x<-2$ имеем $|x+2|=-(x+2)$, а при $x\geqslant -2$ имеем $|x+2|=x+2$.
$$y=\begin{cases}x^2+3x+3(x+2)+2=(x+3)^2-1, & x<-2,\\ x^2+3x-3(x+2)+2=x^2-4, & x\geqslant -2.\end{cases}$$Левая часть графика — часть параболы $y=(x+3)^2-1$ при $x<-2$. Ее вершина имеет координаты $(-3,-1)$, а точка с абсциссой $-2$ не входит в эту часть.
$$(-3,-1)$$Правая часть графика — часть параболы $y=x^2-4$ при $x\geqslant -2$. Ее вершина имеет координаты $(0,-4)$, а точка $(-2,0)$ входит в график.
$$(0,-4),\quad (-2,0)$$Для левой части при $m=-1$ имеется одна точка пересечения — вершина. При $-1<m<0$ имеются две точки, а при $m=0$ — одна точка с абсциссой $x=-3$.
$$(x+3)^2-1=m$$Для правой части при $-4<m<0$ имеются две точки пересечения. При $m=0$ имеются две точки: $x=-2$ и $x=2$. При $m=-1$ также имеются две точки.
$$x^2-4=m$$При $m=-1$ общее число точек равно $1+2=3$. При $m=0$ общее число точек равно $1+2=3$. В остальных случаях число точек не равно трем.
$$m\in\{-1,0\}$$$m=-1$ или $m=0$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не разделяют функцию на случаи $x<-2$ и $x\geqslant -2$.
Ошибочно считают точку $x=-2$ принадлежащей левой части графика.
Не учитывают, что при $m=0$ точка $(-2,0)$ принадлежит правой части.
Считают количество пересечений только с одной из двух частей графика.