Решение: График кусочной функции
Постройте график функции
$y = \begin{cases} -x^2 - 2x - 3, & x \geq -2, \\ -x - 7, & x < -2. \end{cases}$
Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговНа промежутке $x \geq -2$ задана парабола. Преобразуем её уравнение:
$$-x^2-2x-3=-(x+1)^2-2$$Вершина параболы имеет координаты $(-1;-2)$, ветви направлены вниз. Точка при $x=-2$ равна $(-2;-3)$ и принадлежит графику. На луче $x \geq -2$ парабола принимает все значения $y \leq -2$.
На промежутке $x<-2$ задана прямая $y=-x-7$. При $x\to -2-$ её значение стремится к $-5$, но точка со значением $y=-5$ не принадлежит этой части графика. При $x o -\infty$ значение $y$ неограниченно возрастает. Поэтому множество значений прямой: $y>-5$.
Прямая $y=m$ пересекает параболу ровно в одной точке при $m\leq -2$. При $m>-5$ она пересекает линейную часть ровно в одной точке.
Чтобы всего было ровно две общие точки, оба условия должны выполняться одновременно: $m\leq -2$ и $m>-5$.
Объединяя условия, получаем искомый промежуток значений параметра.
$-5<m\leq -2$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Включают значение $m=-5$, хотя точка с абсциссой $x=-2$ не принадлежит линейной части графика.
Забывают, что вершина параболы находится в точке $(-1;-2)$ и значение $m=-2$ даёт одну точку на параболе.
Неверно определяют область задания линейной части: условие имеет вид $x<-2$, а не $x\leq -2$.