Решение: График функции и число пересечений
Постройте график функции $y = x^2 + 14x - 3|x + 8| + 48$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение по шагам
8 шаговРаскроем модуль на двух промежутках. При $x < -8$ имеем $|x+8|=-(x+8)$, поэтому
$$y=x^2+14x+3(x+8)+48=x^2+17x+72=(x+8)(x+9)$$При $x \geq -8$ имеем $|x+8|=x+8$, поэтому
$$y=x^2+14x-3(x+8)+48=x^2+11x+24=(x+3)(x+8)$$Левая часть графика — ветвь параболы $y=x^2+17x+72$ при $x<-8$. Её вершина имеет абсциссу $x=-\frac{17}{2}$ и ординату
$$y\left(-\frac{17}{2}\right)=-\frac14$$Правая часть графика — ветвь параболы $y=x^2+11x+24$ при $x\geq -8$. Её вершина находится в точке
$$\left(-\frac{11}{2},-6\right)$$Обе части проходят через точку $(-8,0)$. Левая часть также пересекает ось $Ox$ в точке $(-9,0)$, а правая — в точке $(-3,0)$.
При $m=-\frac14$ горизонтальная прямая касается левой параболы в её вершине и пересекает правую часть в двух точках, так как $-6< -\frac14 <0$. Всего получается три общие точки.
При $m=0$ прямая проходит через точки $(-9,0)$, $(-8,0)$ и $(-3,0)$. Точка $(-8,0)$ является общей точкой обеих частей, поэтому всего также три различные общие точки.
При $-\frac14<m<0$ горизонтальная прямая пересекает левую часть в двух точках и правую часть в двух точках, то есть имеет четыре общие точки. При остальных значениях $m$ число пересечений не равно трём.
Прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки при $m=-\frac14$ и $m=0$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неправильно раскрывают модуль на промежутке $x<-8$.
Считают точку $(-8,0)$ дважды как принадлежащую обеим частям графика.
Не учитывают ограничения $x<-8$ и $x\geq -8$ для двух частей функции.
При $m=0$ забывают одну из точек пересечения с осью абсцисс.