Решение: График с модулем и параметром
Постройте график функции $y = x^2 - 5x - 5|x - 2| + 6$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение по шагам
7 шаговРаскроем модуль по определению. При $x < 2$ имеем $|x - 2| = 2 - x$, поэтому
$$y = x^2 - 5x - 5(2 - x) + 6 = x^2 - 4$$При $x \geq 2$ имеем $|x - 2| = x - 2$, поэтому
$$y = x^2 - 5x - 5(x - 2) + 6 = x^2 - 10x + 16 = (x - 5)^2 - 9$$График состоит из части параболы $y = x^2 - 4$ при $x < 2$ и части параболы $y = (x - 5)^2 - 9$ при $x \geq 2$. Левая часть имеет вершину $(0; -4)$ и подходит к точке $(2; 0)$ слева. Правая часть начинается в точке $(2; 0)$, имеет вершину $(5; -9)$ и далее возрастает.
Для левой части уравнение пересечения с прямой $y = m$ имеет вид $x^2 - 4 = m$, то есть $x^2 = m + 4$, при условии $x < 2$. Для правой части получаем $(x - 5)^2 - 9 = m$, то есть $(x - 5)^2 = m + 9$, при условии $x \geq 2$.
При $m = -4$ левая часть имеет одну точку пересечения в вершине $(0; -4)$, а правая часть — две точки, поскольку уровень $y = -4$ выше вершины $(5; -9)$ и ниже значения $0$ в точке $x = 2$. Всего получается три точки.
При $m = 0$ левая часть имеет одну допустимую точку $x = -2$; точка $x = 2$ относится к правой части. Правая часть пересекает прямую $y = 0$ в точках $x = 2$ и $x = 8$. Всего получается три точки.
При $-4 < m < 0$ левая и правая части дают по две точки, то есть всего четыре пересечения. При остальных значениях $m$ число пересечений не равно трём.
$m = -4$ или $m = 0$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x < 2$ и $x \geq 2$ после раскрытия модуля.
Считать точку $(2; 0)$ одновременно принадлежащей обеим частям графика.
Забыть, что при $m = 0$ левая парабола даёт только одну допустимую точку, так как $x = 2$ не входит в область $x < 2$.
Не проверить отдельно критические значения $m = -4$ и $m = 0$.