Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y=\dfrac{(0{,}75x^2-1{,}5x)\cdot |x|}{x-2}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
В ответе приведите преобразование функции, укажите область определения, опишите построение графика и обоснуйте найденные значения $m$.
Решение по шагам
6 шаговРазложим числитель на множители:
$$0{,}75x^2-1{,}5x=0{,}75x(x-2)$$Область определения исходной функции задаётся условием $x\ne 2$. При этих значениях выражение упрощается:
$$y=\frac{0{,}75x(x-2)|x|}{x-2}=0{,}75x|x|,\quad x\ne 2$$Раскроем модуль по знакам $x$:
$$y=\begin{cases}-0{,}75x^2, & x<0,\\0{,}75x^2, & x\ge 0,\end{cases}\quad x\ne 2$$График имеет вид двух частей парабол: при $x<0$ строится ветвь $y=-0{,}75x^2$, а при $x\ge 0$ — ветвь $y=0{,}75x^2$. Из-за ограничения $x\ne 2$ на положительной ветви отсутствует точка с координатами $(2;3)$.
Отрицательные значения функция принимает на левой ветви, значение $0$ достигается при $x=0$, а положительные значения — на правой ветви. Единственное пропущенное значение — ордината выколотой точки $(2;3)$.
Следовательно, горизонтальная прямая $y=m$ не пересекает график только при $m=3$.
$$m=3$$$m=3$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne 2$ после сокращения множителя $x-2$.
Изобразить точку $(2;3)$ закрашенной.
Рассматривать график только как одну параболу $y=0{,}75x^2$ и забыть ветвь при $x<0$.