Решение: График функции и число пересечений
Постройте график функции $y=x|x|-|x|-2x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
8 шаговРаскроем модули в зависимости от знака $x$. Если $x<0$, то $|x|=-x$, поэтому функция принимает вид:
$$y=x(-x)-(-x)-2x=-x^2-x$$Если $x\geqslant 0$, то $|x|=x$, поэтому:
$$y=x^2-x-2x=x^2-3x$$Таким образом, график состоит из двух частей парабол:
$$y=\begin{cases}-x^2-x, & x<0,\\ x^2-3x, & x\geqslant 0.\end{cases}$$Левая часть — ветвь параболы, направленной вниз. Её вершина имеет абсциссу $x=-\frac{1}{2}$ и ординату $y=\frac{1}{4}$. Однако для подсчёта пересечений удобнее учитывать, что исходная левая ветвь $y=-x^2-x$ имеет вершину в точке $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$ и проходит через точки $(-1,0)$ и $(0,0)$.
$$y=-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}$$Правая часть — парабола, направленная вверх. Её вершина находится в точке $\left(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}\right)$, а нули функции: $x=0$ и $x=3$.
$$y=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}$$Рассмотрим число пересечений прямой $y=m$ с левой частью. При $m<0$ имеется одна точка, при $m=0$ — одна допустимая точка с $x<0$, при $0<m<\frac14$ — две точки, при $m=\frac14$ — одна точка, при $m>\frac14$ — ни одной.
Для правой части, заданной при $x\geqslant0$, минимальное значение равно $-\frac94$. При $m=-\frac94$ имеется одна точка, при $-\frac94<m<0$ — две точки, при $m=0$ — две точки, одна из которых имеет $x=0$, а при $m>0$ — одна точка.
Учитывая обе части графика и то, что точка $(0,0)$ является общей границей, получаем ровно две общие точки при $m=-\frac94$ и $m=\frac14$.
$m=-\frac94$ или $m=\frac14$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно раскрывают модуль при $x<0$.
Забывают ограничение $x<0$ для левой части и $x\geqslant0$ для правой части.
Используют вершину правой параболы как значение параметра, не учитывая количество пересечений с обеими частями графика.
Считают точку $x=0$ одновременно принадлежащей обеим ветвям.