Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y=\dfrac{(0{,}75x^2-0{,}75x)\cdot|x|}{x-1}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
7 шаговОбласть определения исходной функции задаётся условием $x\ne1$, так как знаменатель не должен обращаться в ноль.
$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{1\}$$Разложим числитель на множители:
$$0{,}75x^2-0{,}75x=0{,}75x(x-1)$$При $x\ne1$ сокращаем множитель $x-1$:
$$y=\frac{0{,}75x(x-1)|x|}{x-1}=0{,}75x|x|$$Раскроем модуль. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\ge0$ имеем $|x|=x$.
$$y=\begin{cases}-0{,}75x^2, & x<0,\\0{,}75x^2, & x\ge0,\end{cases}\qquad x\ne1$$График строится по двум ветвям парабол: левая ветвь $y=-0{,}75x^2$ расположена при $x<0$, правая ветвь $y=0{,}75x^2$ — при $x\ge0$. В точке с абсциссой $x=1$ исходная функция не определена, поэтому на графике отсутствует точка $(1;0{,}75)$.
Значения функции охватывают все действительные числа, кроме $0{,}75$: это значение получается только при $x=1$, но такая точка исключена из области определения.
$$\operatorname{Range}(y)=\mathbb{R}\setminus\{0{,}75\}$$Горизонтальная прямая $y=m$ не пересекает график только тогда, когда её ордината равна исключённому значению.
$$m=0{,}75$$$m=0{,}75$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne1$ после сокращения дроби.
Изображать на графике точку $(1;0{,}75)$ как принадлежащую графику.
Неверно раскрывать модуль при $x<0$.
Указывать все значения $m<0$ или $m>0$, не замечая, что обе ветви вместе дают почти всю числовую прямую.