Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+4x+4, & x\geq -3,\\ -\dfrac{3}{x}, & x<-3,\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговПервую часть функции преобразуем к виду функции, заданной параболой:
$$y=x^2+4x+4=(x+2)^2$$Это парабола с вершиной в точке $(-2;0)$ и осью симметрии $x=-2$. Из-за условия $x\geq -3$ на графике берётся только часть параболы, начиная с точки $(-3;1)$, которая входит в график.
Вторая часть имеет вид $y=-\dfrac{3}{x}$ и задана при $x<-3$. При $x\to-\infty$ значение $y$ стремится к $0$ сверху, а при $x\to-3-0$ значение $y$ стремится к $1$ снизу. Поэтому значения этой части функции образуют интервал $(0;1)$; точка $(-3;1)$ к этой ветви не относится.
Для параболы уравнение пересечения с прямой $y=m$ имеет вид:
$$(x+2)^2=m$$Если $m<0$, решений нет. При $m=0$ имеется одно решение $x=-2$. При $0<m<1$ оба корня $x=-2\pm\sqrt m$ удовлетворяют условию $x\geq-3$, поэтому парабола даёт две точки пересечения. При $m=1$ корни $x=-3$ и $x=-1$, то есть также две точки на параболе. При $m>1$ левый корень меньше $-3$ и не входит в область задания, поэтому остаётся одна точка пересечения с параболой.
Дополнительно дробная ветвь даёт одну точку пересечения тогда и только тогда, когда $0<m<1$. Поэтому при $0<m<1$ всего три общие точки, при $m=1$ — две, а при $m=0$ и $m>1$ — по одной.
Одна общая точка: $m=0$ или $m>1$. Две общие точки: $m=1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают дробную ветвь при $m=1$, хотя точка с координатой $x=-3$ не входит в её область определения.
Считают оба корня уравнения $(x+2)^2=m$ при $m>1$, не проверяя условие $x\geq-3$.
Забывают, что при $0<m<1$ дробная ветвь добавляет ещё одну точку пересечения, поэтому общих точек становится три.