Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y=-2-\dfrac{x+4}{x^2+4x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.
Решение по шагам
6 шаговРазложим знаменатель на множители и учтём область определения исходной функции:
$$x^2+4x=x(x+4),\quad x\ne 0,\ x\ne -4$$Сократим дробь при допустимых значениях $x$:
$$y=-2-\dfrac{x+4}{x(x+4)}=-2-\dfrac{1}{x}$$График функции $y=-2-\dfrac{1}{x}$ — гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=-2$. Из-за ограничения $x\ne -4$ на графике отсутствует точка с абсциссой $-4$.
$$y(-4)=-2-\dfrac{1}{-4}=-\dfrac{7}{4}$$Следовательно, график представляет собой гиперболу $y=-2-\dfrac{1}{x}$ с выколотой точкой $\left(-4,-\dfrac{7}{4}\right)$.
Чтобы найти значения $m$, при которых прямая $y=m$ не пересекает график, решим уравнение пересечения:
$$m=-2-\dfrac{1}{x}\quad\Longrightarrow\quad x=-\dfrac{1}{m+2}$$При $m=-2$ уравнение не имеет решений. Кроме того, точка пересечения отсутствует при $x=-4$, что соответствует значению:
$$m=-2-\dfrac{1}{-4}=-\dfrac{7}{4}$$$m=-2$ или $m=-\dfrac{7}{4}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что в исходной функции $x\ne -4$, даже после сокращения дроби.
Указывают только значение $m=-2$ и не учитывают выколотую точку.
Неверно находят ординату выколотой точки.