Решение: График кусочной функции
Постройте график функции
$y=\begin{cases}x-0{,}5, & \text{если } x<-2,\\-2x-6{,}5, & \text{если } -2\le x\le -1,\\x-3{,}5, & \text{если } x>-1,\end{cases}$
и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
7 шаговДля первого участка строим луч прямой $y=x-0{,}5$ при $x<-2$. При $x=-2$ значение равно $y=-2{,}5$, но точка $(-2;-2{,}5)$ не входит в этот участок.
$$y=x-0{,}5,\quad x<-2$$Для второго участка строим отрезок прямой $y=-2x-6{,}5$ на отрезке $[-2;-1]$. Его концы: $(-2;-2{,}5)$ и $(-1;-4{,}5)$.
$$y(-2)=-2{,}5,\quad y(-1)=-4{,}5$$Для третьего участка строим луч прямой $y=x-3{,}5$ при $x>-1$. Точка $(-1;-4{,}5)$ не входит в этот участок.
$$y=x-3{,}5,\quad x>-1$$Если $m<-4{,}5$, горизонтальная прямая $y=m$ пересекает только первый луч. Если $m=-4{,}5$, она пересекает первый луч и отрезок в точке $(-1;-4{,}5)$, то есть имеет две общие точки.
$$m=-4{,}5$$При $-4{,}5<m<-2{,}5$ прямая $y=m$ пересекает все три участка, поэтому имеет три общие точки.
При $m=-2{,}5$ первый луч точки пересечения не имеет, так как условие $x<-2$ строгое. Остаются точка $(-2;-2{,}5)$ на отрезке и одна точка на третьем луче, то есть всего две общие точки.
$$m=-2{,}5$$При $m>-2{,}5$ горизонтальная прямая пересекает только третий луч. Следовательно, ровно две общие точки получаются только при двух граничных значениях.
$m\in\{-4{,}5;\,-2{,}5\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывать точку $(-2;-2{,}5)$ на первом участке, хотя условие содержит $x<-2$.
Учитывать точку $(-1;-4{,}5)$ на третьем участке, хотя условие содержит $x>-1$.
Считать, что при промежуточных значениях $m$ имеется две точки пересечения, не учитывая третий участок графика.