Решение: Горизонтальные пересечения графика

При $x<4$ график задаётся формулой $y=x$. Это часть прямой, заканчивающаяся в точке $(4;4)$, которая не входит в график, поэтому точка $(4;4)$ отмечается выколотой.

При $x\geq 4$ имеем $y=x^2-10x+27=(x-5)^2+2$. Это правая часть параболы с вершиной $(5;2)$. При $x=4$ получаем $y=3$, поэтому точка $(4;3)$ входит в график.

Рассмотрим пересечения с прямой $y=m$. На участке $y=x$, $x<4$, пересечение существует при $m<4$ и тогда оно единственное: $x=m$.

На параболе уравнение пересечения имеет вид $m=(x-5)^2+2$, или $x=5\pm\sqrt{m-2}$. Две точки параболы существуют при $m>2$, но обе принадлежат области $x\geq4$ только при $\sqrt{m-2}\leq1$, то есть при $m\leq3$.

Если $2<m<3$, парабола даёт две точки пересечения, а прямая $y=x$ пересечений не даёт, поскольку $m<4$ означает, что на прямой также есть точка $x=m$. Следовательно, в этом промежутке общее число точек равно трём, а не двум. Уточним подсчёт: при $2<m<3$ левая точка параболы имеет абсциссу $5-\sqrt{m-2}>4$, правая также принадлежит области, и одновременно точка $(m,m)$ лежит на участке $y=x$, так как $m<4$.

Чтобы получить ровно две общие точки, нужно учесть случаи, когда одна из параболических точек выходит из области определения или совпадает с точкой линейной части. При $m=3$ парабола пересекается с прямой $y=3$ в точках $x=4$ и $x=6$, а линейная часть даёт точку $(3;3)$, всего три точки. При $m=2$ парабола касается прямой в вершине $(5;2)$, а линейная часть даёт точку $(2;2)$, всего две точки.

При $m<2$ парабола не пересекается с прямой $y=m$, а линейная часть даёт одну точку. При $m>3$ парабола пересекается с прямой только один раз в области $x\geq4$, а линейная часть даёт ещё одну точку только при $m<4$. Поэтому при $3<m<4$ получается ровно две точки.