Решение: График дробно-рациональной функции
Постройте график функции $y=\dfrac{7x-6}{7x^2-6x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
7 шаговНайдём область определения исходной функции. Знаменатель раскладывается на множители:
$$7x^2-6x=x(7x-6)$$Поэтому $x\ne 0$ и $x\ne \dfrac{6}{7}$. Сокращаем дробь только с учётом этих ограничений:
$$y=\dfrac{7x-6}{x(7x-6)}=\dfrac{1}{x},\quad x\ne 0,\ x\ne \dfrac{6}{7}$$График функции — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=0$, из которой удалена точка с абсциссой $x=\dfrac{6}{7}$. Её ордината равна:
$$y=\dfrac{1}{6/7}=\dfrac{7}{6}$$Для нахождения общих точек с прямой $y=kx$ приравняем значения функций:
$$\dfrac{1}{x}=kx\quad\Longrightarrow\quad kx^2=1$$При $k<0$ уравнение $kx^2=1$ не имеет действительных решений, а при $k=0$ пересечений нет. При $k>0$ имеются две точки с абсциссами $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{k}}$.
Ровно одна точка останется только в том случае, если одна из двух точек совпадает с удалённой точкой гиперболы. Это возможно для положительной абсциссы:
$$\dfrac{1}{\sqrt{k}}=\dfrac{6}{7}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{k}=\dfrac{7}{6}\quad\Longrightarrow\quad k=\dfrac{49}{36}$$При $k=\dfrac{49}{36}$ положительная точка удалена, а отрицательная точка остаётся на графике, поэтому общая точка ровно одна.
График — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=0$, из которой удалена точка $\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{7}{6}\right)$. Ровно одна общая точка с прямой $y=kx$ получается при $k=\dfrac{49}{36}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничение $x\ne \dfrac{6}{7}$ после сокращения дроби.
Изображают график полной гиперболы $y=\dfrac{1}{x}$ без удалённой точки.
Считают, что при любом $k>0$ прямая имеет две общие точки, не проверяя попадание одной из них в удалённую точку.
Забывают, что при $k\le 0$ действительных точек пересечения нет.