Решение: График модуля квадратичной функции
Постройте график функции $y = \left|x^2 + 4x - 5\right|$. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение по шагам
5 шаговРазложим выражение под знаком модуля на множители и найдём его нули:
$$x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1),\quad x_1 = -5,\quad x_2 = 1$$Парабола $y = x^2 + 4x - 5$ направлена ветвями вверх. Её вершина имеет координаты:
$$x_0 = -\frac{4}{2} = -2,\quad y_0 = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = -9$$На промежутке $[-5;1]$ выражение $x^2 + 4x - 5$ отрицательно, поэтому соответствующую часть параболы отражаем относительно оси абсцисс. Вершина отражённой ветви имеет координаты $(-2;9)$.
График проходит через точки $(-5;0)$ и $(1;0)$. При выборе горизонтальной прямой $y = c$, где $0 < c < 9$, она пересекает каждую из двух внешних ветвей по одной точке и отражённую внутреннюю ветвь по двум точкам.
Следовательно, наибольшее число точек пересечения равно четырём. При $c = 9$ внутренняя ветвь касается прямой в вершине, поэтому точек будет только три.
Наибольшее число общих точек — 4.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не отражают часть параболы, расположенную ниже оси абсцисс.
Считают вершиной исходной параболы точку $(-2;-9)$ вместо вершины графика функции с модулем $(-2;9)$.
Для прямой $y = 9$ считают четыре точки пересечения, хотя внутренняя ветвь касается этой прямой только в одной точке.