Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y=\dfrac{1}{2}\left(\left|\dfrac{x}{3{,}5}-\dfrac{3{,}5}{x}\right|+\dfrac{x}{3{,}5}+\dfrac{3{,}5}{x}\right)$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим $a=\dfrac{x}{3{,}5}$ и $b=\dfrac{3{,}5}{x}$. Тогда исходное выражение имеет вид $\dfrac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$.
Область определения функции: $x\neq 0$. Сравним $\dfrac{x}{3{,}5}$ и $\dfrac{3{,}5}{x}$. Равенство выполняется при $x^2=3{,}5^2$, то есть при $x=\pm 3{,}5$.
При $x\leq -3{,}5$ и $x\geq 3{,}5$ большее выражение равно $\dfrac{x}{3{,}5}$. При $-3{,}5\leq x<0$ и $0<x\leq 3{,}5$ большее выражение равно $\dfrac{3{,}5}{x}$.
Поэтому график состоит из двух лучей $y=\dfrac{x}{3{,}5}$ на промежутках $(-\infty,-3{,}5]$ и $[3{,}5,+\infty)$ и двух ветвей гиперболы $y=\dfrac{3{,}5}{x}$ на промежутках $[-3{,}5,0)$ и $(0,3{,}5]$. Точки соединения: $(-3{,}5,-1)$ и $(3{,}5,1)$.
При $m<-1$ прямая $y=m$ пересекает отрицательную часть графика в двух точках: одну на луче, другую на ветви гиперболы. При $m=-1$ обе части имеют общую точку $(-3{,}5,-1)$, поэтому пересечение единственное.
Аналогично, при $m>1$ прямая $y=m$ пересекает положительную часть графика в двух точках, а при $m=1$ проходит через единственную точку $(3{,}5,1)$.
$m\in\{-1;1\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать область определения $x\neq 0$.
Сравнивать дроби без учёта знака $x$.
Считать точку соединения двух ветвей двумя различными точками пересечения.
Ошибочно включать значения $-1<m<1$, для которых график не имеет точек.