Решение: График функции и параметр
Постройте график функции $y=\dfrac{1}{2}\left(\left|\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}\right|+\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}\right)$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
6 шаговОбласть определения функции: $x\neq 0$. Обозначим $a=\dfrac{x}{2}$ и $b=\dfrac{2}{x}$. Тогда исходное выражение имеет вид $\dfrac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$.
$$\dfrac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$$Ветви сравниваются по равенству $\dfrac{x}{2}=\dfrac{2}{x}$, откуда $x^2=4$ и $x=\pm2$.
С учётом знака $x$ получаем кусочную запись функции:
$$y=\begin{cases}\dfrac{2}{x},&x\leq -2,\\[2pt]\dfrac{x}{2},&-2\leq x<0,\\[2pt]\dfrac{2}{x},&0<x\leq 2,\\[2pt]\dfrac{x}{2},&x\geq 2.\end{cases}$$График состоит из двух частей гиперболы $y=\dfrac{2}{x}$ и двух лучей прямой $y=\dfrac{x}{2}$. В точках $(-2,-1)$ и $(2,1)$ ветви соединяются. При $x=0$ функция не определена.
Для $-1<m<0$ горизонтальная прямая $y=m$ пересекает график в двух точках: одну даёт гипербола, другую — прямая. При $m=-1$ эти точки сливаются в одну точку $(-2,-1)$. При $m=0$ пересечений нет.
Для $m>1$ горизонтальная прямая также пересекает график в двух точках. При $m=1$ пересечения сливаются в одну точку $(2,1)$. При $0<m<1$ пересечений нет.
$m=-1$ или $m=1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что $x=0$ не входит в область определения.
Неверно сравнивают $\dfrac{x}{2}$ и $\dfrac{2}{x}$ на отрицательной полуоси.
Считают точку $x=0$ точкой пересечения с горизонтальной прямой $y=0$.
Не учитывают, что при $m=-1$ и $m=1$ две ветви соединяются в одной точке.