Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y = \dfrac{5x - 8}{5x^2 - 8x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
8 шаговРазложим знаменатель на множители и определим область допустимых значений:
$$5x^2 - 8x = x(5x - 8),\quad x \ne 0,\quad x \ne \dfrac{8}{5}$$Сократим дробь с учётом ограничений:
$$y = \dfrac{5x - 8}{x(5x - 8)} = \dfrac{1}{x},\quad x \ne 0,\quad x \ne \dfrac{8}{5}$$График — гипербола $y = \dfrac{1}{x}$, у которой отсутствует точка с абсциссой $x = \dfrac{8}{5}$. Ордината этой точки равна:
$$y = \dfrac{1}{8/5} = \dfrac{5}{8}$$Следовательно, график состоит из гиперболы $y = \dfrac{1}{x}$ с выколотой точкой $\left(\dfrac{8}{5};\dfrac{5}{8}\right)$.
Для нахождения общих точек с прямой $y = kx$ приравняем значения функций:
$$\dfrac{1}{x} = kx \quad \Longrightarrow \quad kx^2 = 1$$При $k \le 0$ это уравнение не даёт ровно одной допустимой действительной точки: при $k = 0$ решений нет, а при $k < 0$ действительных решений нет. При $k > 0$ имеются две точки с абсциссами $x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{k}}$.
Ровно одна общая точка получится, если один из корней совпадёт с выколотой точкой $x = \dfrac{8}{5}$. Подставим эту абсциссу в уравнение пересечения:
$$k\left(\dfrac{8}{5}\right)^2 = 1 \quad \Longrightarrow \quad k = \dfrac{25}{64}$$При $k = \dfrac{25}{64}$ положительный корень $x = \dfrac{8}{5}$ исключён из области определения, а отрицательный корень остаётся допустимым. Поэтому общая точка ровно одна.
График: гипербола $y = \dfrac{1}{x}$ с выколотой точкой $\left(\dfrac{8}{5};\dfrac{5}{8}\right)$. Ровно одна общая точка получается при $k = \dfrac{25}{64}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x \ne 0$ и $x \ne \dfrac{8}{5}$ после сокращения дроби.
Изобразить полный график $y = \dfrac{1}{x}$ без выколотой точки.
Считать, что при любом $k > 0$ прямая имеет ровно одну общую точку.
Не проверить, что один из корней уравнения пересечения попадает в выколотую точку.