Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y = \begin{cases} 4x - 5, & \text{при } x < 1, \\ -2{,}5x + 5, & \text{при } 1 \le x \le 4, \\ x - 9, & \text{при } x > 4. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
7 шаговДля первого участка $y = 4x - 5$, определённого при $x < 1$, при приближении к $x = 1$ значение функции стремится к $-1$, но значение $-1$ не достигается. Поэтому диапазон этого участка: $y < -1$.
$$y < -1$$Для второго участка $y = -2{,}5x + 5$, определённого при $1 \le x \le 4$, значения на концах равны $2$ и $-5$. Поэтому диапазон этого участка: $-5 \le y \le 2$.
$$y(1)=2,\quad y(4)=-5$$Для третьего участка $y = x - 9$, определённого при $x > 4$, значение $y=-5$ при $x=4$ не включается. Поэтому диапазон этого участка: $y > -5$.
$$y > -5$$Если $m < -5$, пересечение есть только с первой частью. Если $-5 < m < -1$, пересечения есть со всеми тремя частями, то есть их три.
При $m=-5$ пересечения происходят с первой и второй частями; с третьей частью пересечения нет, так как $y=-5$ соответствует точке $x=4$, не входящей в её область определения.
При $m=-1$ первая часть не даёт пересечения, а вторая и третья дают по одной точке. При $m=2$ пересекаются вторая и третья части.
График строится по трём линейным участкам: прямая $y=4x-5$ слева от $x=1$ с открытой точкой $(1;-1)$; отрезок прямой $y=-2{,}5x+5$ на $[1;4]$ с точками $(1;2)$ и $(4;-5)$; луч $y=x-9$ справа от $x=4$ с открытой точкой $(4;-5)$.
Ровно две общие точки получаются при $m \in \{-5; -1; 2\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывать точку $(1;-1)$ как принадлежащую первой части.
Считать точку $(4;-5)$ принадлежащей третьей части.
Не учитывать, что при $-5 < m < -1$ горизонтальная прямая пересекает все три участка.