Решение: График дробно-рациональной функции
Постройте график функции $y=-4-\dfrac{x+1}{x^2+x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.
Решение по шагам
9 шаговРазложим знаменатель на множители и найдём область определения исходной функции:
$$x^2+x=x(x+1),\quad x\ne 0,\quad x\ne -1$$Для допустимых значений $x$ сократим общий множитель $x+1$:
$$y=-4-\frac{x+1}{x(x+1)}=-4-\frac{1}{x},\quad x\ne 0,-1$$График функции $y=-4-\dfrac{1}{x}$ — гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=-4$. Из-за ограничения $x\ne -1$ на графике отсутствует точка, соответствующая $x=-1$:
$$y=-4-\frac{1}{-1}=-3$$Следовательно, график имеет вид гиперболы $y=-4-\dfrac{1}{x}$ с выколотой точкой $(-1;-3)$.
Найдём значения $m$, при которых горизонтальная прямая $y=m$ не пересекает график. Уравнение пересечения имеет вид:
$$m=-4-\frac{1}{x}$$Если $m=-4$, уравнение $-4=-4-\dfrac{1}{x}$ невозможно, поэтому прямая $y=-4$ не имеет общих точек с графиком.
При $m\ne -4$ единственное решение имеет вид:
$$x=-\frac{1}{m+4}$$Это решение запрещено только при $x=-1$. Найдём соответствующее значение параметра:
$$-\frac{1}{m+4}=-1\quad\Rightarrow\quad m+4=1\quad\Rightarrow\quad m=-3$$При $m=-3$ прямая проходит через выколотую точку $(-1;-3)$, поэтому с графиком также не пересекается.
График — гипербола $y=-4-\dfrac{1}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=-4$ и выколотой точкой $(-1;-3)$. Прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек при $m=-4$ и $m=-3$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Указать только $m=-4$, не учтя выколотую точку при $x=-1$.
Считать точку $(-1;-3)$ принадлежащей графику исходной функции.
Забыть, что $x=0$ и $x=-1$ исключаются из области определения.
Записать график сокращённой функции без обозначения выколотой точки.