Решение: График модуля квадратичной функции
Постройте график функции $y = \left|x^2 + 5x + 4\right|$. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение по шагам
5 шаговРазложим квадратный трёхчлен на множители и найдём его нули:
$$x^2 + 5x + 4 = (x+4)(x+1),\quad x_1=-4,\ x_2=-1$$Вершина параболы $y = x^2 + 5x + 4$ имеет координаты:
$$x_0=-\frac{5}{2},\quad y_0=\left(-\frac{5}{2}\right)^2+5\left(-\frac{5}{2}\right)+4=-\frac{9}{4}$$Вне отрезка $[-4;-1]$ выражение под модулем неотрицательно, поэтому график совпадает с параболой. На отрезке $[-4;-1]$ выражение отрицательно, поэтому соответствующая часть параболы отражается относительно оси абсцисс.
$$y=\begin{cases}x^2+5x+4,&x\leq -4\text{ или }x\geq -1,\\-(x^2+5x+4),&-4\leq x\leq -1\end{cases}$$Рассмотрим горизонтальную прямую $y=c$, где $0<c<\dfrac{9}{4}$. Левая внешняя ветвь графика даёт одну точку пересечения, правая внешняя ветвь — ещё одну, а отражённая часть параболы — две точки.
$$1+2+1=4$$Следовательно, наибольшее возможное число общих точек достигается для горизонтальной прямой, расположенной между уровнями $y=0$ и $y=\dfrac{9}{4}$.
Наибольшее число общих точек равно 4.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не отражают относительно оси абсцисс участок параболы, на котором выражение под модулем отрицательно.
Считают только пересечения с внутренней частью графика и забывают о двух внешних ветвях.
Ошибочно считают вершину исходной параболы максимумом графика функции с модулем.