Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+2x+1, & x\ge -4,\\ -\dfrac{36}{x}, & x<-4,\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговПервую часть функции преобразуем к виду параболы:
$$y=x^2+2x+1=(x+1)^2$$Это парабола с вершиной в точке $(-1;0)$, построенная только при $x\ge -4$. На границе области определения получаем точку $(-4;9)$, включённую в график.
При $0<m<9$ горизонтальная прямая $y=m$ пересекает параболу в двух точках. При $m=0$ имеется одна точка касания с параболой, а при $m>9$ — одна точка на правой ветви параболы. При $m=9$ имеются две точки: с абсциссами $x=-4$ и $x=2$.
Вторая часть функции задаёт ветвь гиперболы $y=-\dfrac{36}{x}$ при $x<-4$. Для этой ветви $y>0$, причём при $x\to -\infty$ значение $y$ стремится к нулю, а при $x\to -4-0$ — к $9$ слева. Поэтому множество значений этой части: $0<y<9$.
Следовательно, при $0<m<9$ гипербола добавляет к двум точкам параболы ещё одну точку, и всего получается три пересечения. При $m=9$ гипербола точки не добавляет, так как значение $y=9$ при $x<-4$ не достигается.
При $m<0$ пересечений нет. При $m=0$ одна общая точка, при $m=9$ две общие точки, а при $m>9$ одна общая точка.
$m=0$ или $m\ge 9$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывать точку $(-4;9)$ на гиперболе, хотя условие для второй части строгое: $x<-4$.
Забывать, что при $0<m<9$ прямая пересекает обе части графика и имеет три общие точки.
Считать, что при $m=9$ у параболы только одно пересечение.