Решение: График с модулем
Постройте график функции $y=|x|\cdot(x+3)-5x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговРаскроем модуль по определению.
$$y=\begin{cases}-x(x+3)-5x=-x^2-8x, & x<0,\\ x(x+3)-5x=x^2-2x, & x\geq 0.\end{cases}$$Левая часть графика — парабола $y=-x^2-8x=16-(x+4)^2$ при $x<0$. Её вершина имеет координаты $(-4;16)$, а при приближении $x$ к нулю слева значение функции приближается к нулю.
Правая часть графика — парабола $y=x^2-2x=(x-1)^2-1$ при $x\geq 0$. Её вершина имеет координаты $(1;-1)$, а точка $(0;0)$ принадлежит графику.
Для уровней $-1<m<0$ горизонтальная прямая пересекает правую параболу в двух точках. При $m=0$ она пересекает график в точках с абсциссами $0$ и $2$, то есть также имеет две общие точки.
При $0<m<16$ прямая пересекает левую ветвь в двух точках и правую ветвь в одной точке, всего получается три пересечения. При $m=16$ есть одна точка на вершине левой параболы и одна точка на правой ветви, всего две точки.
При $m=-1$ имеется только одна точка пересечения с правой параболой, а при $m>16$ пересечений с левой ветвью нет. Остальные значения также не дают ровно двух общих точек.
m\in(-1;0]\cup\{16\}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x<0$ и $x\geq 0$ после раскрытия модуля.
Считать точку $(0;0)$ принадлежащей обеим ветвям.
Забыть, что при $0<m<16$ получается три пересечения: два с левой ветвью и одно с правой.
Включить значение $m=-1$, хотя при нём пересечение только одно.