Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y = \dfrac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
8 шаговОбласть определения исходной функции задаётся условием $1-x \ne 0$, поэтому $x \ne 1$.
$$x \ne 1$$Сократим множитель $x-1$, поскольку $1-x=-(x-1)$:
$$y=\dfrac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}=-(x^2+4)=-x^2-4,\quad x\ne1$$График — парабола $y=-x^2-4$, ветви направлены вниз, вершина находится в точке $(0,-4)$. Точка при $x=1$ исключена, поэтому на параболе имеется выколотая точка $(1,-5)$.
Найдём точки пересечения с прямой $y=kx$:
$$-x^2-4=kx\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+kx+4=0$$Если квадратное уравнение имеет единственный корень, его дискриминант равен нулю:
$$D=k^2-16=0\quad\Longrightarrow\quad k=4\ или\ k=-4$$При $k=4$ корень равен $x=-2$, а при $k=-4$ корень равен $x=2$. Оба значения допустимы.
Возможен также случай, когда один из двух корней равен исключённому значению $x=1$. Подставим $x=1$ в уравнение пересечения:
$$1+k+4=0\quad\Longrightarrow\quad k=-5$$При $k=-5$ корни уравнения — $x=1$ и $x=-4$. Точка с $x=1$ не принадлежит графику, поэтому остаётся ровно одна общая точка.
График: парабола $y=-x^2-4$ с выколотой точкой $(1,-5)$. Прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $k\in\{-5,-4,4\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne1$ после сокращения дроби.
Указать только $k=4$ и $k=-4$, забыв случай с выколотой точкой.
Изобразить точку $(1,-5)$ закрашенной.
Ошибиться в знаке при сокращении дроби, так как $1-x=-(x-1)$.