Решение: График с модулем и параметры
Постройте график функции $y=\dfrac{3{,}5|x|-1}{|x|-3{,}5x^2}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.
Решение по шагам
9 шаговРазложим знаменатель на множители, используя $x^2=|x|^2$:
$$|x|-3{,}5x^2=|x|(1-3{,}5|x|)$$Числитель равен противоположному выражению в скобках:
$$3{,}5|x|-1=-(1-3{,}5|x|)$$При $x\ne 0$ и $|x|\ne \dfrac{2}{7}$ дробь сокращается:
$$y=-\dfrac{1}{|x|}$$Исходная функция не определена при $x=0$ и при $|x|=\dfrac{2}{7}$. Поэтому её график — график функции $y=-\dfrac{1}{|x|}$ с выколотыми точками $\left(\dfrac{2}{7},-\dfrac{7}{2}\right)$ и $\left(-\dfrac{2}{7},-\dfrac{7}{2}\right)$.
При $x>0$ приравниваем значения функций:
$$-\dfrac{1}{x}=kx\quad\Longrightarrow\quad kx^2=-1$$На положительной полуоси пересечение существует при $k<0$. Оно исчезает только тогда, когда точка попадает в выколотую точку $x=\dfrac{2}{7}$:
$$k=-\dfrac{1}{(2/7)^2}=-\dfrac{49}{4}$$При $x<0$ имеем $y=\dfrac{1}{x}$, поэтому:
$$\dfrac{1}{x}=kx\quad\Longrightarrow\quad kx^2=1$$На отрицательной полуоси пересечение существует при $k>0$. Оно исчезает, если точка попадает в выколотую точку $x=-\dfrac{2}{7}$:
$$k=\dfrac{1}{(2/7)^2}=\dfrac{49}{4}$$При $k=0$ прямая $y=0$ не пересекает график, поскольку значения функции всегда отрицательны.
График: $y=-\dfrac{1}{|x|}$ при $x\ne 0$, с выколотыми точками $\left(\pm\dfrac{2}{7},-\dfrac{7}{2}\right)$. Прямая $y=kx$ не имеет общих точек с графиком при $k\in\left\{-\dfrac{49}{4},0,\dfrac{49}{4}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
После сокращения забывают исключить значения $x=0$ и $x=\pm\dfrac{2}{7}$ из области определения.
Изображают выколотые точки как принадлежащие графику.
Рассматривают только случай $x>0$ и теряют значение $k=\dfrac{49}{4}$.
Не проверяют случай $k=0$.