Решение: График рациональной функции и прямая
Постройте график функции $y=\dfrac{7x-5}{7x^2-5x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
8 шаговРазложим знаменатель на множители:
$$7x^2-5x=x(7x-5)$$Сократим дробь, учитывая ограничения на область определения:
$$y=\dfrac{7x-5}{x(7x-5)}=\dfrac{1}{x},\quad x\ne0,\quad x\ne\dfrac{5}{7}$$График исходной функции — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с выколотой точкой, соответствующей $x=\dfrac{5}{7}$:
$$y=\dfrac{1}{5/7}=\dfrac{7}{5}$$Следовательно, график состоит из гиперболы $y=\dfrac{1}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=0$, а точка $\left(\dfrac{5}{7},\dfrac{7}{5}\right)$ не принадлежит графику.
Найдём точки пересечения с прямой $y=kx$:
$$\dfrac{1}{x}=kx\quad\Longrightarrow\quad kx^2=1$$При $k<0$ решений нет, при $k=0$ решений нет. При $k>0$ обычно существуют две точки пересечения. Ровно одна точка останется только тогда, когда одна из двух точек совпадает с выколотой точкой.
Подставим координату выколотой точки в уравнение прямой:
$$k=\dfrac{y}{x}=\dfrac{7/5}{5/7}=\dfrac{49}{25}$$При $k=\dfrac{49}{25}$ положительная точка пересечения выколота, а отрицательная точка остаётся, поэтому общая точка ровно одна.
График — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с выколотой точкой $\left(\dfrac{5}{7},\dfrac{7}{5}\right)$; ровно одна общая точка получается при $k=\dfrac{49}{25}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne\dfrac{5}{7}$ после сокращения дроби.
Считать, что при любом $k>0$ прямая имеет две общие точки.
Забыть, что точка $\left(\dfrac{5}{7},\dfrac{7}{5}\right)$ является выколотой.
Включить значение $k=0$, хотя уравнение $\dfrac{1}{x}=0$ решений не имеет.