Решение: График модуля квадратичной функции
Постройте график функции $y = \left|x^2 + 3x + 2\right|$. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение по шагам
5 шаговРазложим выражение под знаком модуля на множители:
$$x^2 + 3x + 2 = (x+2)(x+1)$$Квадратичная функция $x^2 + 3x + 2$ отрицательна на промежутке $(-2;-1)$ и неотрицательна при $x \leqslant -2$ и $x \geqslant -1$. Поэтому график задаётся формулой
$$y = \begin{cases}x^2+3x+2, & x\leqslant -2\text{ или }x\geqslant -1,\\-(x^2+3x+2), & -2\leqslant x\leqslant -1.\end{cases}$$Нули функции находятся в точках $x=-2$ и $x=-1$, поэтому график проходит через точки $(-2;0)$ и $(-1;0)$. Вершина отражённой части параболы имеет координаты $\left(-\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{4}\right)$.
Рассмотрим горизонтальную прямую $y=c$. При $0<c<\dfrac{1}{4}$ она пересекает левую внешнюю ветвь, внутреннюю ветвь слева, внутреннюю ветвь справа и правую внешнюю ветвь. Таким образом, получаются четыре точки пересечения.
При $c=0$ имеются две точки пересечения, при $c=\dfrac{1}{4}$ — три точки, а при $c>\dfrac{1}{4}$ — две точки. Следовательно, наибольшее возможное число пересечений равно четырём.
Наибольшее число общих точек — 4.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать отражение участка параболы, расположенного ниже оси абсцисс.
Считать, что горизонтальная прямая всегда пересекает график только в двух точках.
Неверно находить координату вершины внутренней части графика.