Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-8x+14, & x\geq 3,\\ x-2, & x<3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговПервую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной:
$$y=x^2-8x+14=(x-4)^2-2$$Вершина параболы имеет координаты $(4,-2)$. Так как рассматривается только область $x\geq 3$, левая граница этой части проходит через точку $(3,-1)$.
Парабола на луче $x\geq 3$ пересекает прямую $y=m$ в двух точках при $-2\leq m\leq -1$, в одной точке при $m>-1$ и не пересекает её при $m<-2$.
Вторая часть графика — прямая $y=x-2$ при $x<3$. Уравнение пересечения с прямой $y=m$ имеет вид $x=m+2$. Условие $x<3$ даёт $m<1$, поэтому при $m<1$ эта часть даёт одну общую точку, а при $m\geq 1$ — ни одной.
При $-2\leq m\leq -1$ парабола даёт две точки, а прямая ещё одну, то есть всего три точки. При $m<-2$ получается одна точка. Для ровно двух точек необходимо, чтобы парабола давала одну точку, а прямая — одну точку:
Объединяем условия $m>-1$ и $m<1$.
$-1<m<1$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничения $x\geq 3$ и $x<3$.
Считают точку $(3,-1)$ принадлежащей линейной части графика.
Забывают, что при $-2\leq m\leq -1$ парабола может дать две точки пересечения.
Включают концы промежутка $m=-1$ или $m=1$, хотя при этих значениях число общих точек не равно двум.