Решение: График с модулем и параметром
Постройте график функции $y=x|x|-|x|-6x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
7 шаговРаскроем модули в зависимости от знака $x$. При $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$, поэтому функция принимает вид
$$y=x^2-x-6x=x^2-7x$$При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому
$$y=-x^2+x+6x=-x^2-5x$$Таким образом, график состоит из части параболы $y=x^2-7x$ при $x\geqslant 0$ и части параболы $y=-x^2-5x$ при $x<0$.
Для правой ветви $y=x^2-7x$ вершина имеет координаты $(\frac{7}{2},-\frac{49}{4})$, но при подсчёте пересечений с горизонтальными прямыми удобнее учитывать, что минимум на области $x\geqslant 0$ равен $-\frac{49}{4}$. Однако нулевая точка $x=0$ является общей для обеих частей, а сама функция при $x\geqslant 0$ задаётся параболой с корнями $0$ и $7$.
Для левой ветви $y=-x^2-5x$ вершина находится в точке $(-\frac{5}{2},\frac{25}{4})$. На области $x<0$ эта ветвь имеет два пересечения с прямой $y=m$ при $0<m<\frac{25}{4}$, одно пересечение при $m\leqslant 0$ и $m=\frac{25}{4}$, а при $m>\frac{25}{4}$ пересечений нет.
Для правой ветви уравнение пересечения с прямой $y=m$ имеет вид $x^2-7x=m$. В рассматриваемой области $x\geqslant 0$ две точки пересечения возникают при $-\frac{49}{4}<m<0$, одна — при $m=-\frac{49}{4}$, две — при $m\geqslant 0$ с учётом точки $x=0$ при $m=0$.
Суммируя количество точек на обеих ветвях и учитывая общую точку при $x=0$, ровно две общие точки получаем при $m=-\frac{49}{4}$, при $m=0$ и при $m>\frac{25}{4}$.
Прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m=-\frac{49}{4}$, $m=0$ или $m>\frac{25}{4}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно раскрывают выражение $x|x|$ при $x<0$.
Забывают, что точка $x=0$ принадлежит правой ветви и является общей точкой частей графика.
Неверно находят координаты вершин парабол.
Не учитывают ограничения $x\geqslant 0$ и $x<0$ при подсчёте пересечений.