Решение: График с модулем и параметром
Постройте график функции $y=x^2+11x-4|x+6|+30$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение по шагам
7 шаговРаскроем модуль по определению. При $x<-6$ имеем $|x+6|=-(x+6)$, поэтому
$$y=x^2+11x-4\bigl(-(x+6)\bigr)+30=x^2+15x+54=(x+6)(x+9)$$При $x\geqslant-6$ имеем $|x+6|=x+6$, поэтому
$$y=x^2+11x-4(x+6)+30=x^2+7x+6=(x+1)(x+6)$$Первая часть графика — ветвь параболы $y=x^2+15x+54$ на промежутке $x<-6$. Её вершина имеет абсциссу $x=-\dfrac{15}{2}$ и ординату
$$y\left(-\dfrac{15}{2}\right)=-\dfrac94$$На первой части минимальное значение равно $-\dfrac94$, а при $x\to-6-0$ значение функции стремится к $0$. Поэтому прямая $y=m$ пересекает первую часть: две раза при $-\dfrac94<m<0$, один раз при $m=-\dfrac94$ и один раз при $m\geqslant0$.
Вторая часть графика — парабола $y=x^2+7x+6$ на промежутке $x\geqslant-6$. Её вершина имеет координаты
$$x=-\dfrac72,\qquad y=-\dfrac{49}{4}+6=-\dfrac{25}{4}$$Однако вершина этой параболы находится при $x=-\dfrac72$, а значение функции в точке соединения $x=-6$ равно $0$. На заданной части графика прямая $y=m$ пересекает вторую часть два раза при $-\dfrac{25}{4}<m<0$, один раз при $m=-\dfrac{25}{4}$ и два раза при $m\geqslant0$.
С учётом ограничения $x\geqslant-6$ для второй части и $x<-6$ для первой части, при $-\dfrac94<m<0$ получаем четыре точки, а при $m=-\dfrac94$ — три точки. При $m=0$ имеются точки $x=-9$, $x=-6$ и $x=-1$, то есть три точки. При $m>0$ одна точка лежит на первой части и две — на второй.
m=-\dfrac94 или m\geqslant0
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x<-6$ и $x\geqslant-6$ после раскрытия модуля.
Считать точку $x=-6$ принадлежащей обеим частям графика.
Указывать промежуток $-\dfrac94<m<0$, хотя в нём получается четыре точки пересечения.