Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-6x+6, & x\ge 2,\\ x-3, & x<2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговПервую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной:
$$y=x^2-6x+6=(x-3)^2-3,\quad x\ge 2$$Парабола имеет вершину $(3,-3)$ и начинается с закрашенной точки $(2,-2)$. Уравнение пересечения с прямой $y=m$ имеет вид:
$$(x-3)^2-3=m,\quad x=3\pm\sqrt{m+3}$$Обе точки параболы принадлежат области $x\ge2$, когда $3-\sqrt{m+3}\ge2$, то есть $m\le-2$. При этом $m\ge-3$. Поэтому две точки на параболе возникают при $-3<m\le-2$, одна из них при $m=-2$ совпадает с точкой $x=2$ и всё равно является допустимой.
При $m=-3$ горизонтальная прямая касается параболы в вершине и пересекает её в одной точке. При $m>-2$ с параболой имеется только одно пересечение в области $x\ge2$.
Вторая часть графика — луч прямой $y=x-3$ при $x<2$. Поэтому она принимает все значения $y<-1$, то есть прямая $y=m$ пересекает эту часть ровно в одной точке при $m<-1$.
Суммируем количество пересечений. При $m=-3$ есть одна точка на параболе и ни одной на прямом луче? Так как $-3<-1$, есть также одна точка на луче, значит всего две точки. При $-2<m<-1$ есть по одной точке на параболе и на луче, значит всего две точки. В остальных случаях число пересечений отличается от двух.
Прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m=-3$ или $-2<m<-1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ge2$ для параболы и $x<2$ для прямой.
Считать касание параболы при $m=-3$ двумя точками.
Включать значение $m=-1$: точка прямой при $x=2$ не входит во вторую часть функции.
Ошибочно включать $m=-2$ в ответ: при этом с параболой две точки, а с прямым лучом ещё одна.