Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-6x+11, & x\ge 2,\\ x+3, & x<2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
7 шаговПреобразуем квадратный трёхчлен:
$$x^2-6x+11=(x-3)^2+2$$При $x\ge 2$ график является частью параболы $y=(x-3)^2+2$. Её вершина имеет координаты $(3;2)$, а точка при $x=2$ равна $(2;3)$ и входит в график.
При $x<2$ график является частью прямой $y=x+3$. Точка $(2;5)$ не входит в эту часть, поэтому прямая пересекает горизонталь $y=m$ ровно в одной точке только при $m<5$.
Пересечения с параболой определяются уравнением:
$$(x-3)^2+2=m$$Если $m<2$, пересечений с параболой нет; при $m=2$ есть одно пересечение; при $2<m\le 3$ оба корня удовлетворяют условию $x\ge 2$, поэтому есть два пересечения; при $m>3$ остаётся только правый корень, поэтому есть одно пересечение.
При $m=2$ горизонталь пересекает параболу в одной точке и прямую в одной точке, всего две точки.
При $3<m<5$ горизонталь пересекает параболу в одной точке и прямую в одной точке, всего две точки. При остальных значениях $m$ количество пересечений иное.
$m=2$ или $3<m<5$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают всю параболу, не принимая во внимание ограничение $x\ge 2$.
Считают точку $(2;5)$ принадлежащей прямой, хотя условие для линейной части — $x<2$.
Забывают, что при $m=2$ парабола и прямая дают в сумме две точки пересечения.