Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y=\dfrac{(0{,}75x^2-2{,}25x)\cdot|x|}{x-3}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
5 шаговРазложим числитель на множители:
$$0{,}75x^2-2{,}25x=0{,}75x(x-3)$$При $x\ne3$ сократим множитель $x-3$. Точка $x=3$ не входит в область определения исходной функции.
$$y=\dfrac{0{,}75x(x-3)|x|}{x-3}=0{,}75x|x|,\quad x\ne3$$Раскроем модуль по случаям:
$$y=\begin{cases}-0{,}75x^2, & x<0,\\0{,}75x^2, & x\ge0,\ x\ne3.\end{cases}$$График состоит из левой ветви параболы $y=-0{,}75x^2$ при $x<0$ и правой ветви параболы $y=0{,}75x^2$ при $x\ge0$. В точке с абсциссой $x=3$ образуется выколотая точка.
$$y(3)=0{,}75\cdot3^2=\dfrac{27}{4}$$Диапазон значений функции содержит все числа, кроме значения, соответствующего выколотой точке. Поэтому горизонтальная прямая не пересекает график только при одном значении $m$.
$$m=\dfrac{27}{4}$$$m=\dfrac{27}{4}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Сокращают множитель $x-3$ и забывают исключить $x=3$ из области определения.
Неверно раскрывают модуль: при $x<0$ должно получиться $y=-0{,}75x^2$.
Указывают всю параболу $y=0{,}75x^2$ без выколотой точки с координатами $\left(3;\dfrac{27}{4}\right)$.