Решение: График функции и прямая
Постройте график функции $y=\dfrac{2|x|-1}{|x|-2x^2}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.
Решение по шагам
8 шаговОбласть определения исходной функции определяется условием $|x|-2x^2\ne0$. При $x\ge0$ знаменатель равен $x(1-2x)$, а при $x<0$ — $-x(1+2x)$. Поэтому $x\ne0$, $x\ne\dfrac12$, $x\ne-\dfrac12$.
$$|x|-2x^2\ne0$$При $x>0$ имеем $|x|=x$, поэтому функция упрощается:
$$y=\frac{2x-1}{x-2x^2}=\frac{2x-1}{x(1-2x)}=-\frac1x$$При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому:
$$y=\frac{-2x-1}{-x-2x^2}=\frac{-(2x+1)}{-x(1+2x)}=\frac1x$$График состоит из двух ветвей гипербол: $y=\dfrac1x$ на отрицательной полуоси и $y=-\dfrac1x$ на положительной полуоси. Из-за ограничений исходной функции на графике отсутствуют точки $\left(-\dfrac12,-2\right)$ и $\left(\dfrac12,-2\right)$. Оси координат являются асимптотами.
На отрицательной ветви условие пересечения с прямой $y=kx$ имеет вид:
$$\frac1x=kx\iff k=\frac1{x^2}>0$$Для любого $k>0$ пересечение существует, кроме случая, когда единственная точка имеет абсциссу $x=-\dfrac12$. Это происходит при $k=4$, но точка исключена из графика.
На положительной ветви условие пересечения имеет вид:
$$-\frac1x=kx\iff k=-\frac1{x^2}<0$$Для любого $k<0$ пересечение существует, кроме случая $x=\dfrac12$, которому соответствует $k=-4$. Эта точка также исключена из графика. При $k=0$ прямая совпадает с осью $Ox$, а график ось $Ox$ не пересекает.
Прямая $y=kx$ не имеет общих точек с графиком при $k\in\{-4;\,0;\,4\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что сокращение дроби не возвращает точки, в которых исходный знаменатель равен нулю.
Считать, что при каждом $k>0$ или $k<0$ пересечение обязательно существует.
Забыть значение $k=0$, поскольку график не пересекает ось $Ox$.