Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y = 5 - \dfrac{x + 5}{x^2 + 5x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.
Решение по шагам
5 шаговРазложим знаменатель исходной дроби на множители и определим область определения:
$$x^2 + 5x = x(x+5),\quad x \ne 0,\ x \ne -5$$Сократим общий множитель $x+5$, помня, что значение $x=-5$ запрещено:
$$y = 5 - \dfrac{x+5}{x(x+5)} = 5 - \dfrac{1}{x},\quad x \ne 0,-5$$График — гипербола $y = 5 - \dfrac{1}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=5$, из которой удалена точка при $x=-5$:
$$y(-5)=5-\dfrac{1}{-5}=\dfrac{26}{5}$$Для нахождения пересечений с прямой $y=m$ решим уравнение:
$$m=5-\dfrac{1}{x}\quad\Longrightarrow\quad x=\dfrac{1}{5-m},\quad m\ne 5$$При $m=5$ уравнение не имеет решений. Единственная точка пересечения удалена из графика, если $x=-5$:
$$\dfrac{1}{5-m}=-5\quad\Longrightarrow\quad 5-m=-\dfrac{1}{5}\quad\Longrightarrow\quad m=\dfrac{26}{5}$$$m=5$ или $m=\dfrac{26}{5}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x\ne -5$ после сокращения дроби.
Считать точку $\left(-5,\dfrac{26}{5}\right)$ принадлежащей графику.
Указать только $m=5$, не заметив выколотую точку.