Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y=-5-\dfrac{x-1}{x^2-x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.
Решение по шагам
5 шаговНайдём область определения исходной функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль:
$$x^2-x=x(x-1)\ne 0,\quad x\ne 0,\quad x\ne 1$$Разложим знаменатель на множители и сократим дробь с учётом ограничения $x\ne 1$:
$$y=-5-\frac{x-1}{x(x-1)}=-5-\frac{1}{x},\quad x\ne 0,1$$График функции $y=-5-\dfrac{1}{x}$ — гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=-5$. Так как значение $x=1$ исключено, на графике отсутствует точка:
$$y(1)=-5-1=-6,\quad (1;-6)$$Прямая $y=m$ не пересекает график при $m=-5$, поскольку $y=-5$ является горизонтальной асимптотой. При $m=-6$ единственная точка пересечения сокращённого графика соответствовала бы $x=1$, но эта точка выколота.
Для всех остальных значений $m$ уравнение $m=-5-\dfrac{1}{x}$ имеет допустимое решение $x=-\dfrac{1}{m+5}$, причём это решение не равно нулю и при $m\ne -6$ не равно единице.
Прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек при $m\in\{-6;-5\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne 1$ после сокращения дроби.
Указать только $m=-5$, забыв про выколотую точку $(1;-6)$.
Считать точку $(1;-6)$ принадлежащей графику сокращённой функции.