Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 + 4x - 1, & x \geq -4, \\ x, & x < -4. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговПреобразуем квадратичную часть функции:
$$x^2+4x-1=(x+2)^2-5$$При $x\geq -4$ график является частью параболы $y=(x+2)^2-5$. Её вершина имеет координаты $(-2;-5)$, а точка при $x=-4$ имеет координаты $(-4;-1)$ и принадлежит графику.
При $x<-4$ график совпадает с лучом прямой $y=x$. Точка $(-4;-4)$ не принадлежит этому участку, так как условие строгое.
Для параболы горизонтальная прямая $y=m$ пересекает график в двух точках при $-5<m\leq -1$, в одной точке при $m=-5$ и не пересекает его при $m<-5$.
Луч $y=x$ даёт одну точку пересечения с прямой $y=m$ тогда и только тогда, когда $m<-4$; эта точка имеет координаты $(m;m)$.
Если $m=-5$, имеется одна точка на параболе и одна точка на луче, всего две. При $-5<m<-4$ имеются две точки на параболе и одна на луче, то есть три точки. При $m=-4$ луч не даёт точки пересечения, а парабола даёт две точки. При $-4<m\leq -1$ парабола также даёт две точки.
$m=-5$ или $-4\leq m\leq -1$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывать точку $(-4;-4)$ на луче $y=x$, хотя условие для этой части функции строгое: $x<-4$.
Считать, что при $m=-5$ парабола даёт две точки; на самом деле горизонтальная прямая проходит через вершину и имеет с параболой одну общую точку.
Не учитывать дополнительное пересечение с лучом $y=x$ при $m<-4$.