Решение: График функции с выколотой точкой
Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+1)(x+2)}{-2-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
8 шаговЗнаменатель исходной дроби не должен обращаться в ноль, поэтому $x\ne -2$.
$$-2-x\ne 0\quad\Rightarrow\quad x\ne -2$$Сократим множитель $x+2$, учитывая область определения.
$$y=\frac{(x^2+1)(x+2)}{-(x+2)}=-x^2-1,\quad x\ne -2$$График — парабола $y=-x^2-1$ с вершиной $(0,-1)$ и выколотой точкой, соответствующей $x=-2$.
$$y(-2)=-(-2)^2-1=-5$$Найдём абсциссы точек пересечения параболы с прямой $y=kx$.
$$-x^2-1=kx\quad\Rightarrow\quad x^2+kx+1=0$$Квадратное уравнение имеет ровно один корень, если его дискриминант равен нулю.
$$D=k^2-4=0\quad\Rightarrow\quad k=\pm2$$При $k=2$ корень равен $x=-1$, а при $k=-2$ корень равен $x=1$. Оба значения принадлежат области определения, поэтому дают по одной общей точке.
Если дискриминант положителен, обычно имеются две точки пересечения. Ровно одна точка останется, если один из корней равен исключённому значению $x=-2$.
$$(-2)^2-2k+1=0\quad\Rightarrow\quad k=\frac{5}{2}$$При $k=\frac52$ корень $x=-2$ исключается из графика, а второй корень $x=-\frac12$ остаётся допустимым. Поэтому это значение также подходит.
График: парабола $y=-x^2-1$ с выколотой точкой $(-2,-5)$. Ровно одна общая точка получается при $k\in\left\{-2,\,2,\,\frac52\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne -2$ после сокращения дроби.
Изображать полный график параболы без выколотой точки $(-2,-5)$.
Считать, что ровно одна точка возможна только при нулевом дискриминанте и не рассмотреть случай с исключённым корнем $x=-2$.