Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2-4x+1, & \text{при } x\geq -3,\\-x-2, & \text{при } x<-3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговПервую часть функции преобразуем к виду параболы с выделенным квадратом:
$$y=-x^2-4x+1=-(x+2)^2+5$$Это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной $(-2;5)$. На заданной части $x\geq -3$ она проходит через включённую точку $(-3;4)$, достигает максимума $5$, а затем убывает.
Вторая часть является прямой $y=-x-2$, заданной только при $x<-3$. При приближении к $x=-3$ слева её значение стремится к $1$, поэтому точка $(-3;1)$ не принадлежит графику.
Прямая $y=m$ пересекает линейную часть при решении уравнения $m=-x-2$, то есть $x=-m-2$. Условие $x<-3$ выполняется тогда и только тогда, когда $m>1$.
Для параболы уравнение пересечения имеет вид $m=-(x+2)^2+5$. При $m<5$ правая ветвь даёт одну точку пересечения, при $m=5$ — одну точку в вершине, а при $m>5$ пересечений нет. Левая ветвь не добавляет точку при $m<5$, так как её часть начинается с $x=-3$.
Чтобы общих точек было ровно две, одна точка должна находиться на линейной части, а одна — на параболе. Это выполняется одновременно при $m>1$ и $m\leq 5$.
Ответ: $1<m\leq 5$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать точку $(-3;1)$ принадлежащей линейной части графика.
Забыть, что парабола задана только при $x\geq -3$.
Включить значение $m=1$, хотя при нём линейная часть не пересекает прямую $y=m$.
Не включить значение $m=5$, при котором прямая проходит через вершину параболы.